Question

如圖，在四邊形中，，，點為線段上的一點.現將沿線段翻折到（點與點重合），使得平面平面，連接，.

(Ⅰ)證明：平面；
(Ⅱ)若，且點為線段的中點，求二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ)連接，交于點,在四邊形中，
證得，推出,從而，得到平面。
(Ⅱ)二面角的大小為.

試題分析：(Ⅰ)連接，交于點,在四邊形中，
∵，
∴，∴,
∴
又∵平面平面，且平面平面=
∴平面      ……… 6分
(Ⅱ)如圖，以為原點，直線，分別為軸，軸，平面內過且垂直于直線的直線為軸建立空間直角坐標系，可設點
又，，，，且由，有
，解得，∴      ８分
則有，設平面的法向量為，
由，即，故可取            １０分
又易取得平面的法向量為，并設二面角的大小為，
∴，∴ 
∴二面角的大小為.     １２分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算，簡化了繁瑣的證明過程，實現了“以算代證”，對計算能力要求較高。