Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+a．
（1）若函數y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，求實數a的值；
（2）設m＞0，當x∈[m，2m]時，求f（x）的最小值；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，

∴此時y=2e，即切點坐標為（e，2e），

則切點也在函數f（x）上，則f（e）=elne+a=e+a=2e，

則a=e，

（2）解：函數的導數f′（x）=lnx+1，

由f′（x）＞0得x＞ ，由f′（x）＜0得0＜x＜ ，

即函數在（ ，+∞）上為增函數，在（0， ）上為減函數，

①當2m≤ ，即m≤ 時，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a，

②當m＜ ＜2m，即 ＜m＜ 時，f（x）min=f（ ）=﹣ +a，

③當m≥ 時，f（x）min=f（m）=mlnm+a

（3）證明：令x= ，則x＞ ，

由（2）知，xlnx+a≥﹣ +a，

即xlnx≥﹣ ，當x= 時，取等號，

∴ ln= ＞﹣ ，則﹣ln ＞﹣ ，即e ＜ ，即ln（1+ ）e＜1+ ，

∴ ．

【解析】（1）求出切點坐標，代入函數進行求解即可．（2）求好的導數，判斷函數的單調性進行求解即可．（3）令x= ，利用（2）的結論，構造不等式進行證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．