Question

已知函數f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的“凹函 數”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

，由函數為[1，+∞）上單調增函數，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，由此入手能夠證明當a≤0時，f（x）為“凹函數”．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=x2+

2

x

+alnx，
得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

…（2分）
函數為[1，+∞）上單調函數．
若函數為[1，+∞）上單調增函數，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立．…（3分）
令φ(x)=

2

x

-2x2，上述問題等價于a≥φ（x）_max，
而φ(x)=

2

x

-2x2為在[1，+∞）上的減函數，
則φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0為所求．…（5分）
（Ⅱ）證明：由f(x)=x2+

2

x

+alnx
得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)
=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

…（7分）
而

1

2

(x12+x22)≥

1

4

[(x12+x22)+2x1x2]=(

x1+x2

2

)2①…（9分）
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴

x1+x2

x1x2

≥

4

x1+x2

②…（10分）
∵

x1x2

≤

x1+x2

2

，
∴ln

x1x2

≤ln

x1+x2

2

，
∵a≤0
∴aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

③…（12分）
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

≥(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

即

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，從而由凹函數的定義可知函數為凹函數．…（13分）

點評：本題考查函數的恒等性在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．