Question

如圖，已知：射線OA為y=kx（k＞0，x＞0），射線OB為y=-kx（x＞0），動點P（x，y）在∠AOx的內部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k．
（1）設M（a，ka），N（b，-kb），（a＞0，b＞0），求P（x，y）（x＞0，0＜y＜kx）分別到直線OM，ON的距離．
（2）當k為定值時，動點P的縱坐標y是橫坐標x的函數，求這個函數y=f（x）的解析式；
（3）根據k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域．

Answer 1

分析：（1）先要仔細分析題目所給的條件，設出點M、N的坐標，代入點到直線距離公式，可求出點P到直線OM，ON的距離．
（2）將四邊形分解成兩個三角形：三角形OMP、三角形ONP分別表示出面積，然后求和即可找到x、y之間的關系式，進而即可獲得問題的解答；
（3）首先由0＜y＜kx，得到x必須的范圍，然后根據k分類討論，同時注意要構成四邊形的隱含條件，進而即可獲得自變量x的范圍，最后注意分情況下結論，進而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）設M（a，ka），N（b，-kb），（a＞0，b＞0）．
則|OM|=a

1+k2

，|ON|=b

1+k2

．
（2）由動點P在∠AOx的內部，得0＜y＜kx．
∴|PM|=

|kx-y|

1+k2

=

kx-y

1+k2

，|PN|=

|kx+y|

1+k2

=

kx+y

1+k2

∴S_{四邊形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=

1

2

（|OM|•|PM|+|ON|•|PN|）
=

1

2

[a（kx-y）+b（kx+y）]=

1

2

[k（a+b）x-（a-b）y]=k
∴k（a+b）x-（a-b）y=2k①
又由k_PM=-

1

k

=

y-ka

x-a

，k_PN=

1

k

=

y+kb

x-b

，
分別解得a=

x+ky

1+k2

，b=

x-ky

1+k2

，代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1．
∵y＞0，
∴y=

x2-k2-1

（3）由0＜y＜kx，得0＜

x2-k2-1

＜kx?0＜x²-k²-1＜k²x²?（1-k²）x²＜k²+1＜x（*）
當k=1時，不等式②為0＜2恒成立，∴（*）?x＞

2

．
當0＜k＜1時，由不等式②得x²＜

k2+1

1-k2

，x＜

1-k4

1-k2

，
∴（*）?

1+k2

＜x＜

1-k4

1-k2

．
當k＞1時，由不等式②得x²＞

k2+1

1-k2

，且

k2+1

1-k2

＜0，
∴（*）?x＞

1+k2

但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，所以還必須滿足條件：y＜

1

k

x，將它代入函數解析式，得

x2-k2-1

＜

1

k

x
解得

1+k2

＜x＜

k k4-1

k2-1

（k＞1），或x∈k（0＜k≤1）．
綜上：當k=1時，定義域為{x|x＞

2

}；
當0＜k＜1時，定義域為{x|

1+k2

＜x＜

1-k4

1-k2

}；
當k＞1時，定義域為{x|

1+k2

＜x＜

k k4-1

k2-1

}．

點評：本題考查的是函數解析式的求解和定義域的求解的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了圖形分割的思想、分類討論的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．