Question

如圖，已知：射線OA為，射線OB為，動點P（x，y）在的內部，于M，于N，四邊形ONPM的面積恰為k.  
（1）當k為定值時，動點P的縱坐標y是橫坐標x的函數，求這個函數y=f（x）的解析式；  
（2）根據k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域。

Answer 1

解：（1）設M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
則|OM|=，|ON|=。
由動點P在∠AOx的內部，得0<y<kx.
∴|PM|==，|PN |==
∴（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-( a -b)y=2k          ①
又由k_PM= -=， k_PN==，
分別解得，
代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1。 
 ∵y>0，
∴
（2）由0<y<kx，得  0<<kx
       (*)
當k=1時，不等式②為0<2恒成立，
∴(*)x>。
當0<k<1時，由不等式②得。
當k>1時，由不等式②得
但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，
所以還必須滿足條件：，
將它代入函數解析式，得
解得 (k>1).
綜上：當k=1時，定義域為{x|x>}；
當0<k<1時，定義域為{x|};
當k>1時，定義域為{x|}.