Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD＝a ， PA＝PC＝ a ，

（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求二面角P－AC－D的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝ a，∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD

（2）證明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四邊形ABCD是正

方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD

（3）設AC∩BD＝O，連接PO.

由PA＝PC，知PO⊥AC．又DO⊥AC，故∠POD為二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝ .

在Rt△PDO中，tan∠POD＝ .

【解析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可得證。(2)由(1)可得DO⊥AC，再根據四邊形ABCD為正方形即可得AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得到AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據題意作出輔助線由垂直關系可得出∠POD為二面角P－AC－D的平面角，在Rt△PDO中利用邊的關系求出正切值即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．