Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a，b，c成等比數列．
（1）求橢圓的離心率e的值．
（2）若橢圓C的上頂點、右頂點分別為A、B，求證：∠F₁AB=90°．

Answer 1

分析：（1）由題設b²=ac及b²=a²-c²，由此能求出橢圓的離心率e的值．
（2）由題設A（0，b），B（a，0），又F₁（-c，0），得

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，于是

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，故∠F₁AB=90°．

解答：（1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
其左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比數列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
∴e=1-e²，
解得e=

5 -1

2

，e=

-1- 5

2

（舍），
∴e=

5 -1

2

．
（2）證明：∵橢圓C的上頂點、右頂點分別為A、B，
∴A（0，b），B（a，0），
∵F₁（-c，0），
∴

AF1

=(-c，-b)，

AB

=(a，-b)，
∴

AF1

•

AB

=-ac+b2=0，
故∠F₁AB=90°．

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，具體涉及到橢圓離心率的求法和證明∠F₁AB=90°．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．