Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2

3

，右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足

DA

=λ

DB

，若λ∈[

3

8

，

1

2

]，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由短軸長為2

3

求出b，再由右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合c，從而得到長半半軸長a，寫出橢圓的標準方程．
（2）先AB的方程y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量坐標公式利用函數(shù)的單調性即可求得直線AB的斜率的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）由已知b=

3

，c=1，a=2，所以橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）

DA

=λ

DB

，D，A，B三點共線，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），
與橢圓的方

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立得（3+4k²）y²-24ky+36k²=0
△＞0，k²＜

1

4

．（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁+y₂=

24k

3+4k 2

，y₁y₂=

36k 2

3+4k 2

①
又

DA

=λ

DB

得：（x₁+4，y₁）=λ（x₂+4，y₂），y₁=λy₂②．
將②式代入①式，消去y₂得：

16

3+4k 2

=

(1+λ) 2

λ

=

1

λ

+λ+2（9分）
當λ∈[

3

8

，

1

2

]，時，h(λ)=

1

λ

+λ+2是減函數(shù)
∴

9

2

≤ 

16

3+4k 2

≤

121

24

，
解得[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]
∴直線AB的斜率的取值范圍是[-

5

6

，-

21

22

]∪[

21

22

，

5

6

]（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量的運算等．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，突出考查了數(shù)形結合、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法．