Question

【題目】設數列的前n項和為，已知（p、q為常數， ），又， ， .

（1）求p、q的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）是否存在正整數m、n，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數對；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；

（3）存在符合條件的所有有序實數對： 、、、、、.

【解析】試題分析：（1）利用，n取1，2，可得方程組，即可求p、q的值；

（2）利用和式，再寫一式，兩式相減，利用等比數列的通項公式，即可求數列{an}的通項公式；

（3）先求和，再化簡不等式，確定m的取值，即可求得所有符合條件的有序實數對（m，n）．

試題解析：

（1）由題意，知，解之得

（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，①

當n≥2時，Sn=Sn﹣1+2，②

①﹣②得，an+1=an（n≥2），

又a2=a1，所以數列{an}是首項為2，公比為的等比數列，

所以an=．

（3）由（2）得，=，

由，得，即，

即，

因為2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，

所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①

因為m∈N*，所以m=1或2或3。

當m=1時，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；

當m=2時，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；

當m=3時，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，

綜上可知，存在符合條件的所有有序實數對（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．