Question

已知

a

=(

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）當x∈[

π

3

，

7π

12

]時，

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，求cos2x；
（Ⅱ）當[

5π

12

，

13π

12

)時，關于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一個實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，化簡得到表達式，x∈[

π

3

，

7π

12

]，推出2x-

π

6

∈[

π

2

，π]，利用cos2x=cos[（2x-

π

6

）+

π

6

]求解即可；
（Ⅱ）利用x∈[

5π

12

，

13π

12

)時，推出sin(2x-

π

6

)∈[-1，

3

2

]，關于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一個實根，就是函數圖象只有一個公共點，求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈[

π

3

，

7π

12

]，∴2x-

π

6

∈[

π

2

，π]，

a

•

b

+

1

2

=

4

5

，即

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

4

5

∴cos(2x-

π

6

)=-

3

5

∴cos2x=cos[(2x-

π

6

)+

π

6

]=-

4+3 3

10

（Ⅱ）當x∈[

5π

12

，

13π

12

)時，2x-

π

6

∈[

2π

3

，2π)，∴sin(2x-

π

6

)∈[-1，

3

2

]

a

•

b

+

1

2

=m有且只有一個實根，令X=2x-

π

6

，在坐標系中畫出y=sinX的圖象與y=m的圖象，圖象只有一個交點，
由圖可得：m=-1或0≤m≤

3

2

點評：本題是中檔題，考查三角函數值的求法，平面向量的數量積的應用，數形結合求出函數的圖象的交點與方程的根的關系，考查計算能力．