Question

【題目】直線x+y=1與雙曲線 =1 （a＞0，b＞0）交于M、N兩點，若以M、N兩點為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求 的值；
（2）若0＜a≤ ，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得：（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0（b2≠a2），

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2= ，x1x2= ，

由題意得：x1x2+y1y2=0，

x1 x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=1﹣（x1+x2）+2x1x2=1+ ﹣ =0，

∴b2﹣a2﹣2a2b2=0，∴ =2

（2）解：∵0＜a≤ 即0＜2a≤1， ≤1﹣2a2＜，1＜ ≤2，

又∵b2= ，e2= =1+ ，∴e∈（ ， ]

【解析】（1）聯立方程，利用韋達定理，結合x1x2+y1y2=0，即可求 的值；（2）若0＜a≤ ，求雙曲線離心率e的取值范圍．