Question

【題目】設某物體一天中的溫度T是時間t的函數，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時，規定中午12：00相應的t=0，中午12：00以后相應的t取正數，中午12：00以前相應的t取負數（例如早上8：00對應的t=﹣4，下午16：00相應的t=4），若測得該物體在中午12：00的溫度為60℃，在下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率．
（1）求該物體的溫度T關于時間t的函數關系式；
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，T′（t）=3t2+2at+b，當t=0時，T（t）=60；

當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），

故有c=60，1+a+b+c=58，3（﹣4）2+2a（﹣4）+b=342+2a4+b，

解得a=0，b=﹣3，c=0，∴T（t）=t3 ﹣3t+60，（﹣12≤t≤12）

（2）解：該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點），即﹣2≤t≤2，T′（t）=3t2﹣3，

故當t∈[﹣2，﹣1）、（1，2]時，T′（t）=3t2﹣3＞0，函數單調遞增；故當t∈[﹣1，1]時，T′（t）=3t2﹣3≤0，函數單調遞減，

故當t=﹣1時，函數取得極大值為T（﹣1）=64，而區間[﹣2，2]的端點值T（﹣2）=58，T（2）=62，

故函數T（t）=t3+at2+bt+c在區間[﹣2，2]上的最大值為64，

故上午11點溫度最高為64°

【解析】（1）由題意可得當t=0時，T（t）=60；當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），由此求得待定系數a、b、c的值，可得函數的解析式．（2）利用導數研究函數的單調性，由單調性求得函數的最大值，從而得出結論．