Question

【題目】某經銷商計劃銷售一款新型的電子產品，經市場調研發現以下規律：當每臺電子產品的利潤為x(單位：元，x＞0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過25，則q(x)＝ ；若x大于或等于225，則銷售量為零；當25≤x≤225時，q(x)＝a-b(a，b為實常數)．

(1) 求函數q(x)的表達式；

(2) 當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當x等于100元時，總利潤取得最大值2000 000元.

【解析】

（1）由分段函數分界點處函數值相等列方程組，可得到，從而可得函數的表達式；（2）結合（1））根據總利潤為每臺的利潤乘以銷售量，利用導數研究函數的單調性，結合單調性可求得分段函數每段的最大值，最后選擇一個最大的為分段函數的最大值可得結果.

(1) 當25≤x≤225時，由 得

故q(x)＝

(2) 設總利潤f(x)＝x·q(x)，

由(1)得f(x)＝

當0＜x≤25時，f(x)＝＝240 000[－]，f(x)在(0，25]上單調遞增，

所以當x＝25時，f(x)有最大值1000 000. 當25＜x≤225時，f(x)＝60 000x－4000x，f (x)＝60 000－6000，

令f (x)＝0，得x＝100.

當25<x<100時，f (x)>0，f(x)單調遞增，

當100<x≤225時，f (x)<0，f(x)單調遞減，

所以當x＝100時，f(x)有最大值2000 000.

當x>225時，f(x)＝0.

答：當x等于100元時，總利潤取得最大值2000 000元．