Question

已知各項均為非負整數的數列A：a，a₁，…，a_n（n∈N^*），滿足a=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整數k，使得a_k=k（k≥1），則可定義變換T，變換T將數列A變為T（A）：a+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若數列A：0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄：4，0，0，0，0，試寫出數列A；
（Ⅱ）證明存在數列A，經過有限次T變換，可將數列A變為數列；
（Ⅲ）若數列A經過有限次T變換，可變為數列．設S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求證，其中表示不超過的最大整數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據新定義，首項分別取1，2，3，4，5，從而可寫出其余各項；
（Ⅱ）若數列A：a，a₁，…，a_n滿足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），則定義變換T^-1，變換T^-1將數列A變為數列T^-1（A）：a-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可驗證數列A滿足條件；
（Ⅲ）顯然a_i≤i（i=1，2，…，n），由變換T的定義可知數列A每經過一次變換，S_k的值或者不變，或者減少k，由于數列A經有限次變換T，變為數列n，0，…，0時，有S_m=0，m=1，2，…，n，從而可得S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，由此可得結論．
解答：（Ⅰ）解：若A：0，1，1，3，0，0，則A₁：1，0，1，3，0，0；A₂：2，1，2，0，0，0； A₃：3，0，2，0，0，0；A₄：4，1，0，0，0，0； A₅：5，0，0，0，0，0．
若A₄：4，0，0，0，0，則 A₃：3，1，0，0，0； A₂：2，0，2，0，0； A₁：1，1，2，0，0； A：0，0，1，3，0．．…．…（4分）
（Ⅱ）證明：若數列A：a，a₁，…，a_n滿足a_k=0及a_i＞0（0≤i≤k-1），則定義變換T^-1，變換T^-1將數列A變為數列T^-1（A）：a-1，a₁-1，…，a_k-1-1，k，a_k+1，…，a_n．可得T^-1和T是互逆變換．
對于數列n，0，0，…，0連續實施變換T^-1（一直不能再作T^-1變換為止）得n，0，0，…，0n-1，1，0，…，0n-2，0，2，0，…，0n-3，1，2，0，…，0…a，a₁，…，a_n，
則必有a=0（若a≠0，則還可作變換T^-1）．
反過來對a，a₁，…，a_n作有限次變換T，即可還原為數列n，0，0，…，0，因此存在數列A滿足條件．…（8分）
（Ⅲ）證明：顯然a_i≤i（i=1，2，…，n），這是由于若對某個i，，則由變換的定義可知，通過變換，不能變為0．
由變換T的定義可知數列A每經過一次變換，S_k的值或者不變，或者減少k，由于數列A經有限次變換T，變為數列n，0，…，0時，有S_m=0，m=1，2，…，n，
所以S_m=mt_m（t_m為整數），于是S_m=a_m+S_m+1=a_m+（m+1）t_m+1，0≤a_m≤m，
所以a_m為S_m除以m+1后所得的余數，即．…（13分）
點評：本題考查新定義，考查學生接受新概念的能力，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．