Question

已知各項均為非負整數的數列 ，滿足，．若存在最小的正整數，使得，則可定義變換，變換將數列變為數列．設，．

  （Ⅰ）若數列，試寫出數列；若數列，試寫出數列；

  （Ⅱ）證明存在唯一的數列，經過有限次變換，可將數列變為數列；

  （Ⅲ）若數列，經過有限次變換，可變為數列．設，，求證，其中表示不超過的最大整數．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）若，則；； ；

       ； ．

若，則 ； ； ； ．                                                 ………4分

（Ⅱ）先證存在性，若數列滿足及，則定義變換，變換將數列變為數列：．

易知和是互逆變換．                                         ………5分

對于數列連續實施變換（一直不能再作變換為止）得

 ，

則必有（若，則還可作變換）．反過來對作有限次變換，即可還原為數列，因此存在數列滿足條件．

下用數學歸納法證唯一性：當是顯然的，假設唯一性對成立，考慮的情形．

假設存在兩個數列及均可經過有限次變換，變為，這里，

若，則由變換的定義，不能變為；

若，則，經過一次變換，有

由于，可知（至少3個1）不可能變為．

所以，同理令，

，

則，所以，．

因為，

，

故由歸納假設，有，．

再由與互逆，有

，

，

所以，，從而唯一性得證．                   ………9分

（Ⅲ）顯然，這是由于若對某個，，則由變換的定義可知， 通過變換，不能變為．由變換的定義可知數列每經過一次變換，的值或者不變，或者減少，由于數列經有限次變換，變為數列時，有，，

所以為整數，于是，，

所以為除以后所得的余數，即．………13分

【解析】略