Question

已知函數(shù)，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可以根據(jù)函數(shù)，求出x在[，1]上的解析式，已知在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求出a的范圍；
解答：解：在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
①a＞0若x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=-a=，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）必須在[1，3]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，解得，≤a＜①
設(shè)＜x＜1，可得1＜＜3，
∴=2ln，此時(shí)g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=，
若g′（x）＞0，可得x＜-＜0，g（x）為增函數(shù)
若g′（x）＜0，可得x＞-，g（x）為減函數(shù)，
在[，1]上有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得0＜a≤6ln3②
綜上①②可得≤a＜；
②若a＜0，對(duì)于x∈[1，3]時(shí)，g（x）=lnx-ax＞0，沒(méi)有零點(diǎn)，不滿(mǎn)足在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
綜上：≤a＜；
故選A；
點(diǎn)評(píng)：此題充分利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合題，難度比較大，需要排除a＜0時(shí)的情況，注意解方程的計(jì)算量比較大，注意學(xué)會(huì)如何分類(lèi)討論；