Question

已知函數(shù)，當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=lnx，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可以根據(jù)函數(shù)，求出x在[，1]上的解析式，已知在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，對g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求出a的范圍；
解答：解：在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
①a＞0若x∈[1，3]時，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=-a=，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）為增函數(shù)，
此時f（x）必須在[1，3]上有兩個交點，
∴，解得，≤a＜①
設(shè)＜x＜1，可得1＜＜3，
∴=2ln，此時g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=，
若g′（x）＞0，可得x＜-＜0，g（x）為增函數(shù)
若g′（x）＜0，可得x＞-，g（x）為減函數(shù)，
在[，1]上有一個交點，則，解得0＜a≤6ln3②
綜上①②可得≤a＜；
②若a＜0，對于x∈[1，3]時，g（x）=lnx-ax＞0，沒有零點，不滿足在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
綜上：≤a＜；
故選A；
點評：此題充分利用了分類討論的思想，是一道綜合題，難度比較大，需要排除a＜0時的情況，注意解方程的計算量比較大，注意學(xué)會如何分類討論；