【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數
，當
且
，求證：
.
【答案】（1）當
時
在
遞增；當
時增區間為
；減區間為
.（2）證明見解析.
【解析】
（1）根據函數解析式，求得定義域及導函數，討論
的取值情況，即可判斷導函數符號，進而可得函數的單調區間；
（2）將
代入解析式，并將兩個解析式代入不等式化簡可得
.當
易證不等式成立，當
時，結合
可將不等式化為，構造函數
，并求得
，再構造函數
，并求得
.根據零點存在定理可證明存在
使得
，即
在
上單調遞減，在
上單調遞增；由
，
，可證明
的單調情況，進而可知在
處取得最小值，即證明
即可證明
成立.
（1）函數
.
函數定義域為，
當時，可知
，所以在單調遞增；
當時，令
，
解得
，
所以當
時，；
當
時
；
故此時單調增區間為；單調減區間為；
綜上所述：當時在遞增；
當時增區間為；減區間為.
（2）證明：將代入函數解析式可得
，
，定義域為，
要證，即證
，
①當
時，
，
，不等式顯然成立，
②當時，
，結合已知
可得，
，
于是轉化為，即證
，
令，則
，
令，則
，且在上單調遞增，
∵
，
，存在使得，即
，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
故當
時，
，單調遞減，
當
時，
，單調遞增，
∴
，
故
，得證.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有如下命題，其中真命題的標號為（ ）
A.若冪函數
的圖象過點
，則
B.函數
（
，且
）的圖象恒過定點
C.函數
有兩個零點
D.若函數
在區間
上的最大值為4，最小值為3，則實數m的取值范圍是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
，點A為橢圓C上異于左右頂點的任意一點，A關于原點O的對稱點為B，
，且
．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若
是A關于x軸的對稱點，設點
，連接NA，直線NA與橢圓C相交于點E，直線
與x軸相交于點M，求點M的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓
：
（
）過點
，離心率為
，其左、右焦點分別為
，
，且過焦點的直線
交橢圓于
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點
的坐標為
，設直線
與直線
的斜率分別為
，試證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為檢驗
兩條生產線的優品率，現從兩條生產線上各抽取
件產品進行檢測評分，用莖葉圖的形式記錄，并規定高于
分為優品.前
件的評分記錄如下，第件暫不公布.
（1）求所抽取的
生產線上的個產品的總分小于
生產線上的第個產品的總分的概率；
（2）已知生產線的第件產品的評分分別為
.
①從生產線的件產品里面隨機抽取
件，設非優品的件數為
，求的分布列和數學期望；
②以所抽取的樣本優品率來估計生產線的優品率，從生產線上隨機抽取
件產品，記優品的件數為
，求的數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著我國經濟的發展，居民收入逐年增長.某地區2014年至2018年農村居民家庭人均純收入
（單位：千元）的數據如下表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均純收入 | 5 | 4 | 7 | 8 | 10 |
（1）求關于
的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2018年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測2019年該地區農村居民家庭人均純收入為多少？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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