Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角D-CE-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，可以證明CD⊥平面ABB₁A₁，再利用面面垂直的判定定理，可得結(jié)論；
（2）求出S_△A1CE、S_△CED，利用比值，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥CD
∵BB₁∩AB=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABB₁A₁；
（2）解：由題意，在△CEA₁中，CA₁=2

3

，EA₁=

10

，CE=

6

∴cos∠A₁CE=

12+6-10

2•2 3 • 6

=

2

3

∴sin∠A₁CE=

7

3

∴S_△A1CE=

1

2

•2

3

•

6

•

7

3

=

14

∵S_△CED=

1

2

•2•

2

=

2

∴二面角D-CE-A₁的余弦值為

2

14

=

7

7

∴二面角D-CE-A₁的大小為

7

7

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．