Question

【題目】如圖1，一個鋁合金窗是由一個框架和部分外推窗框組成，其中框架設計如圖2，其結構為上、下兩欄，下欄為兩個完全相同的矩形，四周框架和中間隔欄的材料為鋁合金，寬均為，上欄和下欄的框內矩形高度（不含鋁合金部分）比為，此鋁合金窗占用的墻面面積為，設該鋁合金窗的寬和高分別，，鋁合金的透光部分的面積為（外推窗框遮擋光線部分忽略不計）．

（1）試用，表示；

（2）若要使最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2）寬為，高為

【解析】

（1）根據題意設上欄框內高度為，下欄框內高度為，則，，即可表示出透光面積；

（2）根據基本不等式，等號成立的時刻即為所求.

解：（1）鋁合金窗的寬和高分別為，，，，

由已知，①

設上欄框內高度為，下欄框內高度為，

則，，

所以透光部分的面積

；

（2）因為，，

所以，

所以，

當且僅當時等號成立，此時，

代入①式得，從而，

即當，時，取得最大值.

答：鋁合金窗的寬度為，高為時，可使透光部分的面積最大.