Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為線段，上的點，且，，.

(1)求證：平面；

(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結果；

（2）先由題意得到，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可求出結果.

(1)由題意知，，，

所以，

所以，所以，

又易知，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

因為平面平面，交線為，

所以平面，所以，

因為，，

所以平面；

(2)由(1)知，，兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的直角坐標系，

因為直線與平面所成的角為，即，所以，

則，，，，

所以，，．

因為，，所以，

由(1)知，所以，

又平面，所以，

因為，

所以平面，

所以為平面的一個法向量．

設平面的法向量為，則，

所以，令，得，，

所以為平面的一個法向量．

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，

故平面與平面所成的銳二面角為.