Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點在拋物線上運動，點在軸上的射影為，動點滿足.

求動點的軌跡的方程；

過點作互相垂直的直線，，分別交曲線于點，和，，記，的面積分別為，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】；為定值，.

【解析】

設點，，點代入到拋物線中，由，列出相應方程組，求出，進而求出動點的軌跡的方程；

由知曲線為拋物線，點為拋物線的焦點，分類討論當直線的斜率為或不存在時和當直線的斜率存在且不為時的情況，結合韋達定理和點到直線的距離公式判斷出為定值，定值為.

解：設點，，

則，且，

由，得，

即，代入，

得，即.

所以曲線的方程為.

由知曲線為拋物線，點為拋物線的焦點，

當直線的斜率為或不存在時，均不適合題意.

當直線的斜率存在且不為時，

設直線，與聯立消得，.

由得，且，

設，，

則，.

所以.

原點到直線的距離，

所以.

同理可求得.

所以.

所以.

因此為定值.