Question

【題目】f（x）是定義在（0，+∞）上單調函數，且對x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，則方程f（x）﹣f′（x）=e的實數解所在的區間是（ ）
A.（0， ）
B.（ ，1）
C.（1，e）
D.（e，3）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是定義在（0，+∞）上單調函數，且對x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，
∴設f（x）﹣lnx=t，則f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，則f（t）=lnt+t=e+1，
則t=e，
即f（x）=lnx+e，
函數的導數f′（x）= ，
則由f（x）﹣f′（x）=e得lnx+e﹣ =e，
即lnx﹣ =0，
設h（x）=lnx﹣ ，
則h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，h（e）=lne﹣ =1﹣ ＞0，
∴函數h（x）在（1，e）上存在一個零點，即方程f（x）﹣f′（x）=e的實數解所在的區間是（1，e），
故選：C．
利用換元法求出函數f（x）的解析式，然后根據函數與方程的關系進行轉化，構造函數，判斷函數的零點即可得到結論．