Question

【題目】（1）已知函數，求函數在時的值域；

（2）函數有兩個不同的極值點，，

①求實數的取值范圍；

②證明：.

（本題中可以參與的不等式：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）①②詳見解析

【解析】

(1)首先可對函數進行求導，然后分析函數在上的單調性并求出最值，最后即可求出函數在上的值域；

(2)①首先將“有兩個不同極值點”轉化為“有兩個不同的正實根”，再根據(1)中所給出的函數性質即可得出結果；

②可利用分析法進行證明。

（1），令，，

在上有，在上有，

從而有在上為單增函數，在上為單減函數，

，且當時，，故函數的值域為；

（2）①，

題意有兩個不同極值點即有兩個不同的正實數根，即有兩個不同的正實根，

由（1）題函數的性質知：，故；

②由條件有兩個不同的極值點，知：

，于是有

所以，即

要證成立，只需證明

只需證

只需證

只需證

只需證，令，

只需證，，而題中已給出該不等式成立.

即證。