Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)，求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點(diǎn)F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）先證出直線AB與平面上的兩條相交直線垂直，可得到線面垂直；
（2）利用線面垂直，根據(jù)面面垂直的判定，可得面面垂直；
（3）在AB上取一點(diǎn)F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE，取DC的中點(diǎn)H，連AH、EH，根據(jù)G為△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH，再說明線在平面上，得到結(jié)論．

解答：（1）證明：∵BC=AC，E為AB的中點(diǎn)，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E為AB的中點(diǎn)
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE；
（2）證明：由（1）有AB⊥平面DCE，
又∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（3）解：在AB上取一點(diǎn)F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE

取DC的中點(diǎn)H，連AH、EH
∵G為△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE．

點(diǎn)評：本題考查空間幾何體的點(diǎn)線面之間的關(guān)系的證明，本題解題的關(guān)鍵是熟練所學(xué)的判定定理和性質(zhì)定理，這里反復(fù)使用定理來解題．