Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=

3

，求AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：連結BD，在BD上取點G，使BG：GD=1：2，連結EG、FG，利用線段成比例證出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的銳角（或直角）就是異面直線AB和CD所成的角．分別算出EG、FG的長，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB與CD所成的角的大小．

解答：解：連結BD，在BD上取點G，使BG：GD=1：2，連結EG、FG，
∵在△BCD中，

BE

EC

=

BG

GD

=

1

2

，∴EG∥CD  
同理可證：FG∥AB
∴EG和FG所成的銳角（或直角）就是異面直線AB和CD所成的角．
∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG=

1

3

CD=1．
又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG=

2

3

AB=2．
在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=

3

，
∴由余弦定理，得cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

1

2

，
∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的銳角為60°．
因此，AB與CD所成的角為60°．

點評：本題在特殊的空間四邊形中求異面直線所成角大小．著重考查了空間平行線的判定與性質、余弦定理和異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．