Question

【題目】設(shè)， ， ， ， 是5個(gè)正實(shí)數(shù)（可以相等）．

證明：一定存在4個(gè)互不相同的下標(biāo)， ， ， ，使得．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：可設(shè)，則， ， ， ， 都屬于區(qū)間，由抽屜原理知，區(qū)間或中一定有一個(gè)區(qū)間至少包含其中的3個(gè)數(shù)，5個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的下標(biāo)特征知，圍成的圓圈中，任意相鄰兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的4個(gè)下標(biāo)互不相同． 、對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)的分子、分母的4個(gè)下標(biāo)符合要求．因此，結(jié)論成立．

試題解析：不妨設(shè)，考慮以下5個(gè)分?jǐn)?shù)： ， ， ， ， ，①

它們都屬于區(qū)間．

把區(qū)間分成兩個(gè)區(qū)間： 和，由抽屜原理知，區(qū)間或中一定有一個(gè)區(qū)間至少包含①中的3個(gè)數(shù)（記這3個(gè)數(shù)依次為， ， ）．

將①中的5個(gè)數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈，則①中任意三個(gè)數(shù)中都有兩個(gè)數(shù)是相鄰的（與是相鄰的），即， ， 中至少有兩個(gè)數(shù)是相鄰的．假設(shè)與相鄰，則．

另一方面，由①中5個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的下標(biāo)特征知，圍成的圓圈中，任意相鄰兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的4個(gè)下標(biāo)互不相同．

于是， 、對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)的分子、分母的4個(gè)下標(biāo)符合要求．因此，結(jié)論成立．