Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分別為線段AD，PC的中點(diǎn).

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：BE⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）證明四邊形是平行四邊形，可得是的中點(diǎn)，利用為線段的中點(diǎn)，可得，從而可證平面；

（2）證明，即可證明平面.

試題解析：

(1)設(shè)AC∩BE＝O，連接OF，EC.

由于E為AD的中點(diǎn)，

AB＝BC＝AD，AD∥BC，

∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此四邊形ABCE為菱形，

∴O為AC的中點(diǎn).

又F為PC的中點(diǎn)，因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP平面BEF.

∴AP∥平面BEF.

(2)由題意知ED∥BC，ED＝BC.

∴四邊形BCDE為平行四邊形，

因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

∴AP⊥CD，

因此AP⊥BE.

∵四邊形ABCE為菱形，

∴BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

∴BE⊥平面PAC.