Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，動點P到定點F(1,0)的距離比到定直線x=-2的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）若直線l與（1）中軌跡C交于A，B兩點，通過A和原點O的直線交直線x=-1于D，求證：直線DB平行于x軸.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）判斷軌跡為拋物線，轉化求解拋物線方程即可．

（2）畫出圖形，設直線的方程為代入拋物線方程，設，，，，取得的縱坐標，然后推出結果．

（1）解：動點到的距離比到定直線的距離小，則與到定直線的距離相等，根據拋物線的定義可知，所求軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為①

（2）證明：設直線的方程為②

②代入①，整理得，

設，，，，則，

所以點的縱坐標③

因為，所以直線的方程為④

可得的縱坐標為⑤

由③⑤知，軸．