Question

【題目】已知函數對任意實數，都滿足，且，，當時，.

(1)判斷函數的奇偶性；

(2)判斷函數在上的單調性，并給出證明；

(3)若，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)為奇函數；(2)在上單調遞減，證明見解析；(3).

【解析】

（1）令，代入抽象函數表達式即可證明函數的奇偶性；

（2）先證明當時，，再利用已知和單調函數的定義，證明函數在上的單調性，根據函數的奇偶性，即可得到函數在上的單調性；

（3）先利用賦值法求得再利用函數的單調性解不等式即可

解：（1）令，則.

∵，∴

∴函數為奇函數；

(2)函數在上單調遞減.

證明如下：

由函數為奇函數得

當時，，，

所以當時，，

設，則，∴，

于是，

所以函數在上單調遞減.

∵函數為奇函數，∴函數在上單調遞減.

(3)∵，且，∴

又∵函數為奇函數，∴

∵，∴，函數在上單調遞減.

又當時，.

∴，即，

故的取值范圍為.