Question

給出下列命題：
①函數y=

x2-8x+20

+

x2+1

的最小值為5；
②若直線y=kx+1與曲線y=|x|有兩個交點，則k的取值范圍是-1≤k≤1；
③若直線m被兩平行線l₁：x-y+1=0與l₂：x-y+3=0所截得的線段的長為2

2

，則m的傾斜角可以是15°或75°
④設S_n是公差為d（d≠0）的無窮等差數列{a_n}的前n項和，若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數列{S_n}是遞增數列
⑤設△ABC的內角A．B．C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續的三個正整數，且A＞B＞C，3b=20acosA則sinA：sinB：sinC為6：5：4
其中所有正確命題的序號是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①化y=

x2-8x+20

+

x2+1

=

(x-4)2+4

+

x2+1

=

(x-4)2+(0-2)2

+

(x-0)2+[0-(-1)]2

，幾何意義為x軸上點（x，0）到兩定點（4，2），（0，-1）距離．數形結合求出最小值．
②在同一坐標系內作出y=kx+1與y=|x|的圖象，可知當k=±1時，有一個交點．
③先求兩平行線間的距離，結合題意直線m被兩平行線l₁與l₂所截得的線段的長為2

2

，求出直線m與l₁的夾角為30°，推出結果．
④a₁=S₁＞0，若d＜0，則數列數列{a_n}為遞減數列，總存在n∈N^*，使得S_n＜0，假設不成立．
⑤由題意可得三邊即 a、a-1、a-2，由余弦定理可得 cosA=

a-5

2(a-2)

，再由3b=20acosA，可得 cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

，從而可得

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，由此解得a=6，可得三邊長，根據sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得結果

解答：解：①y=

x2-8x+20

+

x2+1

=

(x-4)2+4

+

x2+1

=

(x-4)2+(0-2)2

+

(x-0)2+[0-(-1)]2

即求x軸上點（x，0）到兩定點（4，2），（0，-1）距離和的最小值 而兩點位于x軸的兩側，所以最小值即兩點的距離最短

(4-0)2+(2+1)2

=5①正確
②在同一坐標系內作出y=kx+1與y=|x|的圖象，可知當k=±1時，有一個交點．②錯誤

③兩平行線間的距離為d=

|3-1|

1+1

=2

2

，
由圖知直線m與l₁的夾角為30°，l₁的傾斜角為45°，
所以直線m的傾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°．③正確
④若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則a₁=S₁＞0，若d＜0，則數列數列{a_n}為遞減數列，總存在n∈N^*，使得S_n＜0，假設不成立，必有d＞0，數列{S_n}是遞增數列．④正確．
⑤由于a，b，c 三邊的長為連續的三個正整數，且A＞B＞C，可設三邊長分別為 a、a-1、a-2．
由余弦定理可得 cosA=

a-5

2(a-2)

，又3b=20acosA，可得 cosA=

3b

20a

=

3a-3

20a

從而可得

a-5

2(a-2)

=

3a-3

20a

，解得a=6，故三邊分別為6，5，4．
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（ a-2）=6：5：4，⑤正確
綜上所述，正確答案序號為①③④⑤
故答案為：①③④⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數最值，圖象與性質，兩條直線夾角，數列的單調性，正弦定理、余弦定理的應用．屬于中檔題．