Question

已知函數f（x）=

(3a-1)x-2  x＜1 logax         x≥1

，現給出下列命題：
①函數f（x）的圖象可以是一條連續不斷的曲線；
②能找到一個非零實數a，使得函數f （x）在R上是增函數；
③a＞1時函數y=f （|x|） 有最小值-2．
其中正確的命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：依題意，對a分0＜a＜1與a＞1討論，再利用函數的性質對①②③進行分析即可．

解答：解：∵f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，
∴0＜a＜1或a＞1，
∴當x=1時，log_a1=0，而（3a-1）×1-2=3a-3≠0，
∴函數f（x）的圖象不是一條連續不斷的曲線，即①錯誤；
對于②，要使函數f （x）在R上是增函數，則a＞1，
假設存在a₀＞1，使得函數f （x）在R上是增函數，
則當x=1時，（3a₀-1）×1-2≤0，
∴a₀≤1，這與a₀＞1矛盾，
∴不存在a₀＞1，使得函數f （x）在R上是增函數，即②錯誤；
對于③，∵f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，
∴f（0）=-2，
又當a＞1時，f（x）=（3a-1）x-2在[0，1]上為增函數，在[0，1]上的最小值為f（0）=-2；
f（x）=log_ax在[1，+∞）上為增函數，在區間[1，+∞）上，f（x）=log_ax的最小值為f（1）=0，
∴當x≥0時，f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，的最小值為-2，
又函數y=f （|x|） 為偶函數，
∴a＞1時函數y=f （|x|） 有最小值-2，即③正確．
綜上所述，正確的命題的個數是1個．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查分段函數的圖象與性質，屬于中檔題．