Question

設y=f（x）是定義在R上的函數，給定下列三個條件：
（1）y=f（x）是偶函數；
（2）y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數有

3

個．

Answer 1

分析：首先由（1）、（2）作為條件，可以證出（3）成立．然后類似地可以由（2）、（3）作為條件，證出（1）成立；由（1）、（3）作為條件，證出（2）成立，可得真命題的個數為3個．

解答：解：①先證明由（1）和（2）作為條件，可以得到（3）成立
∵y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵y=f（x）是偶函數，可得f（1-x）=f（x-1）
∴f（x-1）=f（1+x），即f（x-1）=f[（x-1）+2]，函數y=f（x）是T=2的周期函數；
②再證明由（2）和（3）作為條件，可以得到（1）成立
∵y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵T=2為y=f（x）的一個周期，可得f（1+x）=f[（x+1）-2]，
∴f（1-x）=f（x-1），可得f（1-x）=f[-（1-x）]，
以x代替1-x，得f（x）=f（-x），故函數y=f（x）是偶函數；
③最后證明由（1）和（3）作為條件，可以得到（1）成立
∵T=2為y=f（x）的一個周期，
∴f（1+x）=f[（x+1）-2]=f（x-1），
又∵y=f（x）是偶函數，可得f（x-1）=f（1-x），
∴函數y=f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），可得y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
綜上所述，將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，可以構成的三個真命題．
故答案為：3

點評：本題以函數的奇偶性、周期性和圖象的對稱性為載體，考查了命題真假的判斷及其理論證明，屬于基礎題．