Question

設y=f（x）是定義在區間（a，b）（b＞a）上的函數，若對?x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱y=f（x）是區間（a，b）上的平緩函數．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是區間（-1，1）5上的平緩函數；
（2）若f（x）是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數，試證明對?x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

分析：（1）新定義函數類型的題目，解答時要先充分理解定義才能答題，對于（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后尋求條件：|x₁+x₂+k|≤1，（2）的解答稍微復雜一些，此處除了用到放縮外，還有添項減項的技巧應用即對已知條件f（0）=f（2）的充分利用．

解答：解：（1）?x₁、x₂∈（-1，1），|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k|×|x₁-x₂|（1分）．
若k≥0，則當x₁、x2∈(

1

2

，1)時，x₁+x₂+k＞（12分），從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|（3分）；
若k＜0，則當x₁、x2∈(-1，-

1

2

)時，x₁+x₂+k＜-1，|x₁+x₂+k|＞1（4分），
從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，所以對任意常數k，f（x）=x²+kx+1都不是區間（-1，1）上的平緩函數（5分）．
（2）若x₁、x₂∈[0，2]，①當|x₁-x₂|≤1時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|≤1（6分）；
②當|x₁-x₂|＞1時，不妨設0≤x₁＜x₂≤2，根據f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（2）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（2）-f（x₂）|
≤|x₁|+|2-x₂|=x₁+2-x₂=2-（x₂-x₁）＜1（11分），
所以對?x₁、x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1（12分）．
對?x₁、x₂∈R，根據f（x）的周期性（且T=2），存在p₁、p₂∈[0，2]，
使f（x₁）=f（p₁）、f（x₂）=f（p₂），從而|f（x₁）-f（x₂）|=|f（p₁）-f（p₂）|≤1（17分）．

點評：本題抽象函數、新定義函數類型的概念，不等式的性質，放縮法的技巧，對于新定義類型問題，在解答時要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來重頭讀題，費時費力，另外要在充分抓住定義的基礎上，對式子的處理要靈活，各個式子的內在聯系要充分挖掘出來，可現有結論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結果，再來尋求轉化取得這些條件．屬中檔題．