【題目】如圖，正方體
，則下列四個命題:
①點
在直線
上運動，三棱錐
的體積不變
②點在直線上運動，直線
與平面
所成角的大小不變
③點在直線上運動，二面角
的大小不變
④點是平面
上到點
和
距離相等的動點，則的軌跡是過點
的直線.
其中的真命題是（ ）
A.①③B.①③④C.①②④D.③④
【答案】B
【解析】
①由正方體的性質，易知
平面
，因此直線
上的點到平面的距離不變，又
的面積不變，所以體積不變.②點
在直線上運動，
的大小在改變，所以直線與平面
所成角的大小改變，③點在直線上運動，兩面的位置不變，所以二面角
的大小不變.④用向量法來判斷，建立空間直角坐標系，設
，由
的方程來判斷.
①由正方體的性質可得:
，于是平面，因此直線上的點到平面的距離不變，點在直線上運動，又的面積不變，因此三棱錐
的體積
不變.
②點在直線上運動，由①可知:直線上的點到平面的距離不變，而的大小在改變，因此直線與平面所成角的大小改變，故不正確.
③點在直線上運動，由①可知:點到平面的距離不變，點到
的距離不變，可得二面角的大小不變，正確；
④如圖所示，
不妨設正方體的棱長為
，
，
，設，∵，則
，化為
，因此的軌跡是過點
的直線，正確.
其中真命題是①③④.
故選：B
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【題目】在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑
中，
平面
，且
為
的中點，則異面直線
與
所成角的正弦值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為F，直線l過點
．
（1）若點F到直線l的距離為
，求直線l的斜率；
（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值
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【題目】已知點
在雙曲線
（
，
）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是
．
（1）求雙曲線
的方程；
（2）若過點
且斜率為
的直線
與雙曲線有兩個不同的交點，求實數的取值范圍；
（3）設（2）中直線與雙曲線交于
兩個不同的點，若以線段
為直徑的圓經過坐標原點，求實數的值．
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【題目】在直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
經過坐標原點
，曲線
的參數方程為
（
為參數）.以點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求與的極坐標方程；
（2）設與的交點為、
，與的交點為、
，且
，求值.
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【題目】在直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
經過坐標原點
，曲線
的參數方程為
（
為參數）.以點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求與的極坐標方程；
（2）設與的交點為、
，與的交點為、
，且
，求值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，
為
軸上的點.
（1）過點
作直線
與
相切，求切線的方程；
（2）如果存在過點的直線
與拋物線交于
，
兩點，且直線
與
的傾斜角互補，求實數
的取值范圍.
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