Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 對任意的正整數n，都有an=5Sn+1成立，記bn= （n∈N*）．
（1）求數列{an}和數列{bn}的通項公式；
（2）設數列{bn}的前n項和為Rn ， 求證：對任意的n∈N* ， 都有Rn＜4n；
（3）記cn=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），設數列{cn}的前n項和為Tn ， 求證：對任意n∈N* ， 都有Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=5Sn+1，

當n=1時，a1=5a1+1，∴a1=﹣ ．

當n≥2時，an﹣1=5Sn﹣1+1，

∴an﹣an﹣1=5an，

∴ =﹣ ，

∴{an}是以﹣ 為首項，以﹣ 為公比的等比數列．

∴an=（﹣ ）n．

∴bn= ．

（2）解：由（1）知bn= =4+ ．

∴b2k+b2k﹣1=8+ + =8+ =8﹣ ＜8．

∴當n為偶數時，設n=2m，則Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣1+b2m）＜8m=4n．

當n為奇數時，設n=2m﹣1，Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣3+b2m﹣2）+b2m﹣1＜8（m﹣1）+4=4n．

∴對任意的n∈N*，都有Rn＜4n．

（3）解：cn=b2n﹣b2n﹣1= + = = ＜ = ．

∵b1=3，b2= ，∴c1= ，

∴當n=1時，T1＜ ．

當n≥2時，Tn＜ +25（ +…+ ）= +25×

＜ +25× = ．

∴對任意n∈N*，都有Tn＜ ．

【解析】（1）利用公式an= 求出{an}為等比數列，得出其通項公式，代入bn= 得出{bn}的通項公式；（2）化簡bn ， 得出{bn}的相鄰兩項之和小于8，從而得出結論；（3）化簡cn ， 得出cn＜ ，從第二項開始使用不等式cn＜ ，得出結論．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．