Question

【題目】已知二次函數和函數,

（1）若為偶函數,試判斷的奇偶性;

（2）若方程有兩個不等的實根,則

①試判斷函數在區間上是否具有單調性,并說明理由;

②若方程的兩實根為求使成立的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數; （2）①是單調函數，理由見解析 ②

【解析】

（1）若為偶函數,則此時滿足為奇函數;

（2）①由得有不等實根,整理后得一二次方程,故可得,其為一關于的關系式,從中整理 得出對稱軸的范圍,知其不在區間上,故可證得函數在區間上具有單調性．

②方程為二次函數其兩實根為,若成立,即在兩根之間,可由根的分布的相關知識將這一關系轉化為不等式,解出的范圍

（1）若為偶函數,則,

即,解得：,

此時滿足,

即為奇函數;

（2）①由得方程（*）有不等實根

及得即或

又的對稱軸

故在上是單調函數

②是方程（*）的根,

,同理

同理

要使,

當時,即,解得

當時,即,解集為

故的取值范圍