Question

【題目】定義：若兩個橢圓的離心率相等，則稱兩個橢圓是“相似”的．如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個橢圓，并且相交于上下兩個頂點，橢圓的長軸長是4，橢圓長軸長是2，點，分別是橢圓的左焦點與右焦點.

（1）求橢圓，的方程；

（2）過的直線交橢圓于點，，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，橢圓的方程是（2）

【解析】

（1）設橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，直接利用橢圓的定義得到答案.

（2）設直線的方程為，聯立方程得到，

，，利用均值不等式得到答案.

解：（1）設橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由已知，=1，

∵橢圓與橢圓的離心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴橢圓的方程為，橢圓的方程是；

（2）顯然直線的斜率不為0，故可設直線的方程為.

聯立：，得，即，

∴，設，，

則，，∴，

的高即為點到直線：的距離，

∴的面積，

∵，等號成立當且僅當，即時成立

∴，即的面積的最大值為.