Question

已知函數(shù)f(x)=

x

x2+1

．
（1） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷并證明當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（2）成立的條件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故我們可利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷方法來解答問題；
（2）由函數(shù)f（x）的解析式，我們易求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合x∈（-1，1），確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，我們可將原不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（1）∵y=x²+1為偶函數(shù)，y=x為奇函數(shù)
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，我們易得
函數(shù)f(x)=

x

x2+1

為奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)
∵函數(shù)f(x)=

x

x2+1

f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

＞0恒成立
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）在（2）成立的條件下，不等式f（2x-1）+f（x）＜0可化為：

-1＜2x-1＜1 -1＜x＜1 x＜1-2x

解得：0＜x＜

1

3

∴不等式的解集為(0，

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中熟練掌握各種函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．