Question

【題目】如圖，點B是以AC為直徑的圓周上的一點，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，點E為PB中點．

（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線AE與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PA⊥⊙O所在平面，且BC為⊙O的弦， ∴PA⊥BC
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC．
而PA∩AC=A．
∴BC⊥面PAC，
∵AE平面PAC，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，PA⊥平面ABC，點E為PB的中點．
∴AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：作BO⊥平面APC，取PO的中點G，連結EG，
則EG∥BO，EG⊥平面PAC，連結AG，
∴∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，
AE= PB=2，GE= =1，
∴sin∠EAG= = ，
∴直線AE與平面PAC所成角為： ．

【解析】（Ⅰ）證明BC⊥面PAC，推出BC⊥AE，然后證明AE⊥PB，推出AE⊥平面PBC，然后證明平面AEC⊥平面PBC．（Ⅱ）作BO⊥平面APC，取PO的中點G，連結EG，連結AG，說明∠EAG就是直線AE與平面PAC所成角，通過解三角形求解即可．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．