Question

某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點，度量點的坐標，如圖．

（Ⅰ）拖動點，發現當時，，試求拋物線的方程；
（Ⅱ）設拋物線的頂點為，焦點為，構造直線交拋物線于不同兩點、，構造直線、分別交準線于、兩點，構造直線、．經觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有.請你證明這一結論．
（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變為其它“定點”，其余條件不變，發現“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）設出直線方程，點的坐標，聯立方程組證明，所以
（Ⅲ）設拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則

試題分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分
所以，                                                                3分
因此，拋物線的方程．                                              4分
（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，
依題意可設直線，
由得，則 ①                      6分
又因為，，所以，，
所以，，                         7分
又因為                                   8分


，  ②
把①代入②，得，                                   10分
即，
所以，
又因為、、、四點不共線，所以．                        11分
（Ⅲ）設拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則 ．                                                             14分
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，                5分
依題意,可設直線，
由得，
則
所以                                                         7分
又因為，，
所以，，                                            10分
所以，，  
又因為、、、四點不共線，所以.                          11分
（Ⅲ）同解法一.                                                            14分
解法三：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，
依題意，設直線，
由得，則，                         6分
又因為，，所以，，
又因為，                9分
所以，所以平行于軸；
同理可證平行于軸；
又因為、、、四點不共線，所以.                         11分
（Ⅲ）同解法一.                                                           14分
點評：圓錐曲線問題在高考中每年必考，且一般出在壓軸題的位置上，難度較低，主要考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等。