Question

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；
（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

Answer 1

(1)  (2)采用聯立方程組結合韋達定理和中點公式來證明。
(3)

試題分析：(1) ; () 由方程組
,消y得方,因為直線交圓于、兩點,所以D>0,即,設C(x₁ ,y₁ )、D(x₂ ,y₂ , D中點坐標為(x₀ ,y₀ ),則,由方組,消y得方(k₂ -k₁ )xp,又因為,所以,故E為CD的中點;
(3) 作點P₁、P₂的步驟:°求出PQ的中點,2°求出直線OE的斜率,3由知E為CD的中點,根據()可得CD的斜率,4°從而得直線CD的方程:, 5°將直線CD與圓
Γ的方程聯立,方程組的解即為點P₁ P₂的坐標.
使P₁、P₂存在,必須點在橢圓內,所以,化簡得,,又0<q <p,即,所以,故q 的取值范圍是.
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提是要求學生對基礎知識有相當熟練的把握。