Question

已知函數f(x)=

ax+b，x＞1 (a+b)x，-1≤x≤1 -a-x-b，x＜-1

(a＞0，且a≠1，b∈R)．
（1）若b=-2且f（x）為R上的增函數，求a的取值范圍；
（2）若2≤a≤4且f（x）有且僅有三個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）為R上的增函數，
需滿足：f1(x)=ax+b，x＞1，f₂（x）=（a+b）x，-1≤x≤1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1同時為增函數，
又

f3(-1)=f2(-1) f2(1)=f1(1)

，
∴

a＞1 a+b＞0

，即a＞-b．
∴b=-2時，a＞2，
故所求的a的范圍是（2，+∞）．
（2）當2≤a≤4時，f1(x)=ax+b，x＞1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1均為增函數，
欲使函數y=f（x）有且僅有三個零點，
則需y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），y₃=f₃（x）各有一個零點，
∴f（-1）＞0＞f（1），
即-（a+b）＞0＞（a+b），∴
b＜-a．
又當2≤a≤4時，（-a）_min=-4，
∴b＜-4為所求，
即b的范圍為（-∞，-4）．