Question

設正項數列的前項和為，向量，（）滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的通項公式為（），若，，（）成等差數列，求和的值；
(3)．如果等比數列滿足，公比滿足，且對任意正整數，仍是該數列中的某一項，求公比的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）由可以得到，即，利用，可得，即是以1為首項，2為公差的等差數列，從而求得通項公式；
（2）由是等差數列可得，即，整理得，根據m,t是正整數，所以t-1只可能是1,2,4，從而解得；
（3）易知，因為仍是該數列中的某一項，所以是該數列中的某一項，又是q的幾次方的形式，所以也是q的幾次方的形式，而，所以，所以只有可能是q，，所以，所以．
（1）∵，∴，∴①
當n=1，有，是正項數列，∴
當，有②，
①-②，得，，∴，
∴數列以，公差為2的等差數列，；
（2）易知，∵是等差數列，
即，∴，整理得，
∵m,t是正整數，所以t只可能是2,3,5，∴；
易知，∵仍是該數列中的某一項，記為第t項，∴，即，∵，∴，
，又∵，∴只有t-k=1，即，解得