Question

已知函數滿足, 且對于任意恒有成立。
(1) 求實數的值；
(2)設若存在實數，當時，恒成立，求實數的最大值。

Answer 1

（1）b=10， a=100；(2) 實數的最大值是4。

（1）由f（-1）=-2，代入函數解析式得到關于lga與lgb的等式記作①，化簡后得到關于a與b的等式記作②，又因為f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到關于lga與lgb的不等式，把①代入后得到關于lgb的不等式，根據平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；
（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，所以a b =10②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）-2x≥0恒成立，則有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2-4lgb≤0，將①式代入上式得：（lgb）2-2lgb+1≤0，即（lgb-1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；
(2) ,∵存在實數，當時，恒成立；即恒成立.
（）恒成立.
設，則
∴，即，且
，∴實數的最大值是4。