Question

【題目】

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點.

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1.

【解析】

（I）連BD，設AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O為坐標原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標系O-xyz，設底面邊長為a，求出高SO，從而得到點S與點C和D的坐標，求出向量與，計算它們的數量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；（II）根據題意先求出平面PAC的一個法向量和平面DAC的一個法向量，設所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC，根據（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，設，求出，根據可求出t的值，從而即當SE：EC=2：1時，，而BE不在平面PAC內，故BE∥平面PAC

（I）證明：連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（II）設正方形邊長a，則．

又，所以∠SDO＝60°．

連OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，

即二面角P－AC－D的大小為30°

（III）在棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC．

由（II）可得，故可在SP上取一點N，使PN＝PD．過N作PC的平行線與SC的交點即為E．連BN，在△BDN中知BN∥PO．

又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC．

由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1