Question

已知函數f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值，
（Ⅱ）已知過點P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直線為l，則必存在x₀∈（1，e），使曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線與直線l平行，求x₀的值，
（Ⅲ）已知函數g（x）圖象在[0，1]上連續不斷，且函數g（x）的導函數g'（x）在區間（0，1）內單調遞減，若g（1）=0，試用上述結論證明：對于任意x∈（0，1），恒有g（x）＞g（0）（1-x）成立．

Answer 1

分析：（I）由題意先對函數f（x）=lnx-ax求其導函數，并利用導函數分析單調性并求其極值；
（II）利用已知直線上兩點寫出其斜率的式子，再利用導數的幾何含義寫出直線的斜率，進而建立方程求解即可；
（III）利用（II）的結論實質，依照題意即可求證結論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，此時f（x）不存在極值．
②若a＞0令f'（x）=0得x=

1

a

，
當x∈(0，

1

a

)時，f^′（x）＞0，此時函數f（x）在此區間上單調遞增；
當x∈(

1

a

，+∞)時，f^′（x）＜0，此時函數f（x）在此區間上單調遞減；
∴f（x）_極大值=f(

1

a

)=-lna-1
綜上：當a≤0時，f（x）沒有極大值，當a＞0時，f（x）_極大值=-lna-1．
（Ⅱ）直線l的斜率k=

f(e)-f(1)

e-1

=-a+

1

e-1

，
∵x₀∈（1，e），
依題意有f'（x₀）=-a+

1

e-1

即

1

x0

-a=-a+

1

e-1

得x₀=e-1∈（1，e），
故x₀=e-1
（Ⅲ）①f'（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

或(

f(a)-f(b)

a-b

)
由以上結論得：對區間[0，x]存在x₁∈[0，x]使g'（x₁）=

g(x)-g(0)

x-0

同樣對區間[x，1]存在x₂∈[x，1]使g'（x₂）=

g(1)-g(x)

1-x

=

-g(x)

1-x

依題意得：g'（x₁）＞g'（x₂）即

g(x)-g(0)

x-0

＞

-g(x)

1-x

化簡得g（x）＞g（0）（1-x）成立．

點評：（I）此問重點考查了利用函數的導函數求解極值，并在判斷函數單調性時考查了解不等式時的分類討論的思想；
（II）此問重點考查了直線的斜率公式及利用導數的幾何意義，進而建立斜率的方程；
（III））此問重點考查了對于（II）的結論的理解與應用．