Question

【題目】設，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出原函數的導函數，結合列方程，即可求得的值；（2）把（1）中求得的值代入函數解析式，由，得到，構造函數，即，然后對分類討論，求導利用導數研究函數的單調性與最值，從而可得的取值范圍．

試題解析：（1）f′（x）= ，由題設f′（1）=1，∴，∴a=0．

（2），x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣﹣2）

設g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），當x∈（1，，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設矛盾．

③若m≥1，當x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 綜上所述，m≥1．