Question

【題目】如圖，要利用一半徑為的圓形紙片制作三棱錐形包裝盒.已知該紙片的圓心為，先以為中心作邊長為（單位：）的等邊三角形，再分別在圓上取三個點，，，使，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合于點，即可得到正三棱錐.

（1）若三棱錐是正四面體，求的值；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并指出相應的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值為，此時.

【解析】

（1）因為三棱錐是正四面體，所以是正三角形，連結，交于點，連結，算出，由即可得到答案；

（2）易得，設函數，利用導數求得的最大值即可得到體積的最大值.

（1）連結，交于點，連結，

在中，， ，

則.

因為三棱錐是正四面體，

所以是正三角形，

所以，即，解得.

（2）在中，，，

所以高.

由可得，.

所以三棱錐的體積

.

設函數，，

則.

令得，.列表如下：

		0
		極大值

所以在時取最大值，

所以.

所以，所以.

所以三棱錐體積的最大值為，此時.