Question

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為,右焦點為(,0).(1)求橢圓C的方程;(2)若過原點作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點,求證:點O到直線AB的距離為定值.

Answer 1

【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.

【解析】試題分析：（1）根據焦點和離心率列方程解出a，b，c；

（2）對于AB有無斜率進行討論，設出A，B坐標和直線方程，利用根與系數的關系和距離公式計算；

試題解析：(1)由右焦點為(,0),則 ,又離心率為,所以 , ，

則

(2) 設 , ,若k存在,則設直線AB:y=kx+m.

得

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點到直線AB的距離 ， 當AB的斜率不存在時, ,可得, 依然成立.所以點O到直線的距離為定值 .